La notation scientifique

En une phrase

La notation scientifique, c'est une façon d'écrire les très grands et les très petits nombres avec une puissance de 10. On l'écrit a × 10^n, où a est compris entre 1 et 10 (un seul chiffre avant la virgule). Exemple : 38 000 = 3,8 × 10^4.

Comprendre

Les très grands nombres (comme 38 000) et les très petits (comme 0,0042) sont longs à écrire et difficiles à comparer. La notation scientifique les écrit de façon compacte avec une puissance de 10. Un nombre en notation scientifique a la forme a × 10^n, où a est un nombre décimal tel que 1 ≤ a < 10 : autrement dit, a a exactement un chiffre non nul avant la virgule. La puissance 10^n indique de combien de rangs la virgule est décalée.

Pour 38 000, on déplace la virgule pour n'avoir qu'un chiffre avant : on obtient 3,8, et il a fallu reculer la virgule de 4 rangs, donc 38 000 = 3,8 × 10^4. Pour un petit nombre comme 0,0042, on avance la virgule jusqu'à 4,2, ce qui demande de la déplacer de 3 rangs vers la droite : l'exposant est alors négatif et 0,0042 = 4,2 × 10^(-3). La règle clé est sur a : il doit être supérieur ou égal à 1 et strictement inférieur à 10. Écrire 38 × 10^3 ou 0,38 × 10^5 donne bien le bon nombre, mais ce n'est pas la notation scientifique, car a (38 ou 0,38) n'est pas entre 1 et 10. La notation scientifique facilite la comparaison (on regarde d'abord l'exposant de 10) et les calculs sur les ordres de grandeur.

Le cours

La notation scientifique d'un nombre est son écriture sous la forme a × 10^n, où a est un nombre décimal vérifiant 1 ≤ a < 10 et n est un entier relatif. La condition 1 ≤ a < 10 signifie que a possède exactement un chiffre (non nul) avant la virgule : c'est ce qui rend l'écriture unique. La puissance 10^n « porte » l'ordre de grandeur : un exposant positif correspond à un grand nombre, un exposant négatif à un petit nombre.

Méthode pour passer en notation scientifique : on place la virgule de manière à n'avoir qu'un seul chiffre non nul devant, on compte de combien de rangs la virgule a été déplacée, et ce nombre de rangs donne l'exposant de 10 (positif si le nombre de départ était grand, négatif s'il était petit). Exemples : 38 000 = 3,8 × 10^4 (la virgule recule de 4 rangs) ; 0,0042 = 4,2 × 10^(-3) (la virgule avance de 3 rangs) ; 250 = 2,5 × 10^2. Attention à respecter la condition sur a : 38 × 10^3 et 0,38 × 10^5 sont égaux à 38 000 mais ne sont pas en notation scientifique, car 38 et 0,38 ne sont pas compris entre 1 et 10. La notation scientifique est très utile pour comparer rapidement deux nombres (on compare d'abord les exposants de 10) et pour mener des calculs avec de très grandes ou très petites valeurs, notamment en sciences.

Les erreurs fréquentes

On laisse a en dehors de l'intervalle, par exemple on écrit 38 000 = 38 × 10^3 ou 0,38 × 10^5.

En notation scientifique, a doit vérifier 1 ≤ a < 10 (un seul chiffre avant la virgule) : la bonne écriture est 38 000 = 3,8 × 10^4. 38 × 10^3 donne le bon nombre mais n'est pas la notation scientifique.

Pour un petit nombre, on utilise un exposant positif, par exemple 0,0042 = 4,2 × 10^3.

Un nombre plus petit que 1 a un exposant négatif : 0,0042 = 4,2 × 10^(-3). L'exposant est positif pour les grands nombres, négatif pour les petits.

Tu maîtrises la notion si…

• Décrire la notation scientifique d'un nombre comme a × 10^n avec a décimal et 1 ≤ a < 10.
• Écrire un grand nombre en notation scientifique avec un exposant positif (38 000 = 3,8 × 10^4).
• Écrire un petit nombre en notation scientifique avec un exposant négatif (0,0042 = 4,2 × 10^(-3)).

Vérifie que tu as compris

1. La notation scientifique de 38 000 est :

   Réponse 3,8 × 10⁴

   Notation scientifique = a × 10ⁿ avec 1 ≤ a < 10. 38 000 = 3,8 × 10 000 = 3,8 × 10⁴.

2. La notation scientifique de 0,00042 est :

   Réponse 4,2 × 10⁻⁴

   On écrit a × 10ⁿ avec 1 ≤ a < 10. 0,00042 = 4,2 × 0,0001 = 4,2 × 10⁻⁴.

3. Parmi ces écritures, laquelle est une notation scientifique correcte ?

   Réponse 7,05 × 10⁻³

   Une notation scientifique s'écrit a × 10ⁿ avec 1 ≤ a < 10 : un seul chiffre non nul avant la virgule. Ces quatre écritures désignent pourtant le MÊME nombre, 0,00705, mais une seule est scientifique : 7,05 × 10⁻³. La mantisse 70,5 est supérieure à 10, tandis que 0,705 et 0,0705 sont inférieures à 1.