Le sens des fractions

En une phrase

Une fraction, comme 3/4, te dit comment partager. Le nombre du bas (le dénominateur) indique en combien de parts égales tu coupes le gâteau, et le nombre du haut (le numérateur) indique combien de parts tu prends. Donc 3/4, c'est 3 parts sur 4.

Comprendre

Une fraction sert à décrire un partage en parts égales. Elle s'écrit avec deux nombres séparés par une barre, par exemple 3/4. Le nombre du bas s'appelle le dénominateur : il te dit en combien de parts égales on partage le tout (le gâteau, le disque, la longueur…). Le nombre du haut s'appelle le numérateur : il te dit combien de ces parts on prend.

Ainsi 3/4 (qui se lit « trois quarts ») signifie : on partage le tout en 4 parts égales, et on en prend 3. Le mot clé, c'est « égales » : les parts doivent toutes avoir la même taille, sinon ce n'est pas une fraction. Tu peux représenter une fraction sur un disque (une part de pizza), sur une barre, ou sur une droite graduée. Quand le numérateur est plus petit que le dénominateur, comme 3/4, la fraction est plus petite que 1 (tu n'as pas pris le tout).

Quand le numérateur est égal au dénominateur, comme 4/4, tu as pris tout le gâteau : 4/4 = 1. Et rien n'interdit de dépasser le tout : si l'unité est partagée en 5 et que tu avances de 7 parts sur la droite graduée, tu obtiens 7/5, qui vaut plus que 1 — précisément 7/5 = 5/5 + 2/5 = 1 + 2/5. Une fraction est aussi un QUOTIENT : a/b est le nombre qui, multiplié par b, redonne a. Ainsi 3/4 est le nombre qui, multiplié par 4, donne 3 — c'est exactement ce qu'on obtient en partageant 3 gâteaux entre 4 personnes. Enfin, on s'en sert pour prendre une fraction D'UNE QUANTITÉ : prendre 3/4 de 20 €, c'est partager 20 € en 4 parts égales (20 ÷ 4 = 5 €) puis en prendre 3, soit 15 €.

Comprendre qu'une fraction est un partage en parts égales, un quotient, et un opérateur qui agit sur une quantité, c'est la base de tout le travail sur les fractions cette année.

Le cours

Une fraction est un nombre qui décrit un partage en parts égales. Elle s'écrit a/b, avec deux nombres séparés par une barre de fraction. Le nombre du bas, b, s'appelle le dénominateur : il indique en combien de parts égales on partage le tout.

Le nombre du haut, a, s'appelle le numérateur : il indique combien de ces parts on prend. Par exemple, 3/4 se lit « trois quarts » et signifie : on partage le tout en 4 parts égales, et on en prend 3. La condition essentielle est que les parts soient toutes de la même taille : un partage en morceaux inégaux ne donne pas une fraction. On peut illustrer une fraction de plusieurs façons : en coloriant 3 parts d'un disque coupé en 4, en hachurant 3 carreaux d'une barre de 4 carreaux, ou en plaçant un point sur une droite graduée où l'unité est partagée en 4. Si le numérateur est inférieur au dénominateur (3/4), la fraction est inférieure à 1. Si le numérateur est égal au dénominateur (4/4), la fraction vaut 1, car on a pris toutes les parts.

Si le numérateur dépasse le dénominateur, la fraction dépasse 1 : sur une droite graduée dont l'unité est partagée en 5, le 7e trait après 0 vaut 7/5, c'est-à-dire 1 + 2/5. Une fraction est également un QUOTIENT : par définition, a/b est le nombre qui, multiplié par b, redonne a — 3/4 est le nombre qui, multiplié par 4, donne 3, ce qui correspond au partage de 3 unités entre 4. C'est ce sens quotient qui permettra plus tard de justifier les propriétés des fractions. Enfin, une fraction s'applique à une quantité : prendre 3/4 de 20 €, c'est diviser 20 par le dénominateur (20 ÷ 4 = 5) puis multiplier par le numérateur (3 × 5 = 15), soit 15 €. Une fraction relie donc un nombre à une proportion d'un tout : 3/4 d'une longueur, 3/4 d'un disque, 3/4 d'une quantité.

C'est cette idée de partage en parts égales qui donne du sens à toutes les opérations sur les fractions.

Les erreurs fréquentes

Dans 3/4, le 4 du dessous indique combien de parts on prend.

C'est le numérateur (le 3, en haut) qui dit combien de parts on prend ; le dénominateur (le 4, en bas) dit en combien de parts égales on partage le tout.

On peut écrire une fraction même si les parts du partage ne sont pas de la même taille.

Une fraction décrit toujours un partage en parts égales : si les morceaux n'ont pas la même taille, on ne peut pas écrire une fraction du tout.

Tu maîtrises la notion si…

• Nommer le numérateur et le dénominateur et dire le rôle de chacun (parts prises / parts égales du tout).
• Lire et représenter une fraction simple comme 3/4 sur un disque, une barre ou une droite graduée.
• Comprendre que les parts d'un partage doivent être égales, et que 4/4 vaut 1.

Vérifie que tu as compris

1. La fraction 3/4 représente :

   Réponse 3 parts d'un tout partagé en 4 parts égales

   Le dénominateur 4 dit en combien de parts égales on partage ; le numérateur 3 dit combien on en prend.

2. Quelle fraction est égale à un nombre entier ?

   Réponse 8/4

   8/4 = 2, car 8 est un multiple de 4. Une fraction vaut un entier quand le numérateur est un multiple du dénominateur.

3. Une tarte est partagée en 8 parts égales et Léa en mange 3. Quelle fraction de la tarte a-t-elle mangée ?

   Réponse 3/8

   Le dénominateur dit en combien de parts égales on partage (8) et le numérateur combien on en prend (3) : Léa a mangé 3/8 de la tarte. 5/8 est ce qui reste et 8/3 inverse les deux nombres.