Additionner des fractions — 5ᵉ

En une phrase

Quand deux fractions ont le même dénominateur (le nombre du bas), tu additionnes (ou soustrais) seulement les numérateurs (le nombre du haut) et tu gardes le dénominateur tel quel. Par exemple 2/7 + 3/7 = 5/7.

Comprendre

Une fraction comme 2/7, c'est 2 parts d'un tout partagé en 7 parts égales. Si tu prends 2 parts (2/7) puis encore 3 parts (3/7) de ce même gâteau coupé en 7, tu obtiens en tout 5 parts : 5/7. Le truc à comprendre, c'est que le dénominateur (7) dit la TAILLE des parts, et tant que les parts ont la même taille, on ne change pas le dénominateur : on compte juste combien de parts on a en tout, donc on additionne les numérateurs. Règle : pour 2/7 + 3/7, j'additionne 2 + 3 = 5 et je garde 7, ce qui donne 5/7. Pour une soustraction c'est pareil : 5/9 − 2/9 = 3/9 (j'enlève 2 parts à 5 parts, il en reste 3, et le dénominateur ne bouge pas).

L'erreur la plus fréquente est d'additionner aussi les dénominateurs et d'écrire 2/7 + 3/7 = 5/14 : c'est FAUX, car 14 voudrait dire que les parts ont changé de taille, ce qui n'a pas de sens. Il faut donc bien retenir : on calcule sur le haut, on garde le bas. Quand le résultat peut être simplifié (par exemple 3/9 = 1/3), on peut donner la fraction la plus simple.

Attention : cette règle simple ne marche que si les deux fractions ont DÉJÀ le même dénominateur. Quand ce n'est pas le cas mais que l'un des dénominateurs est un MULTIPLE de l'autre, tu sais convertir : pour 5/12 + 4/3, comme 12 = 3 × 4, on écrit 4/3 = (4 × 4)/(3 × 4) = 16/12, et alors 5/12 + 16/12 = 21/12, qui se simplifie par 3 en 7/4. Un nombre entier se traite pareil, en l'écrivant sous forme de fraction : 1 = 8/8, donc 1 − 3/8 = 8/8 − 3/8 = 5/8.

Le cours

Additionner ou soustraire deux fractions qui ont le même dénominateur est l'une des opérations de base sur les fractions. La règle est la suivante : on additionne (ou on soustrait) les numérateurs entre eux, et on conserve le dénominateur commun sans le modifier. Autrement dit, a/d + b/d = (a + b)/d et a/d − b/d = (a − b)/d.

Par exemple : 2/7 + 3/7 = 5/7, et 5/9 − 2/9 = 3/9. L'idée derrière cette règle est que le dénominateur indique en combien de parts égales le tout a été partagé, c'est-à-dire la taille des parts. Quand on ajoute 2/7 et 3/7, on réunit 2 parts et 3 parts de même taille (des septièmes), ce qui donne 5 parts de cette taille, soit 5/7. Le dénominateur ne change donc pas, car la taille des parts ne change pas ; seul le nombre de parts (le numérateur) évolue. Une erreur classique consiste à additionner aussi les dénominateurs : écrire 2/7 + 3/7 = 5/14 est faux, car cela reviendrait à dire que les parts ont changé de taille.

Lorsque le résultat peut être simplifié, on peut donner la forme la plus simple : par exemple 3/9 se simplifie en 1/3 (on divise le numérateur et le dénominateur par 3). Cette méthode directe ne s'applique qu'à des fractions de même dénominateur ; si les dénominateurs sont différents, il faut d'abord les rendre égaux. Au programme de 5e, on sait le faire dès que l'un des dénominateurs est un MULTIPLE de l'autre : pour 5/12 + 4/3, on remarque que 12 = 3 × 4, donc 4/3 = (4 × 4)/(3 × 4) = 16/12 ; il ne reste plus qu'à additionner des douzièmes : 5/12 + 16/12 = 21/12, soit 7/4 après simplification par 3. Un nombre entier se ramène de la même façon à une fraction : 1 = 8/8, donc 1 − 3/8 = 8/8 − 3/8 = 5/8. Ces deux cas — dénominateurs égaux, et dénominateurs multiples l'un de l'autre — sont à la base de tout le calcul fractionnaire.

Les erreurs fréquentes

Pour additionner deux fractions de même dénominateur, on additionne les numérateurs ET les dénominateurs : 2/7 + 3/7 = 5/14.

On garde le dénominateur commun et on additionne seulement les numérateurs : 2/7 + 3/7 = 5/7. Le dénominateur indique la taille des parts, qui ne change pas, donc on ne l'additionne jamais.

On peut utiliser cette règle simple même quand les deux fractions ont des dénominateurs différents.

La règle « on calcule sur les numérateurs, on garde le dénominateur » ne marche que si les dénominateurs sont les mêmes. Avec des dénominateurs différents, il faut d'abord les rendre égaux.

Tu maîtrises la notion si…

• Additionner deux fractions de même dénominateur en additionnant les numérateurs et en gardant le dénominateur (2/7 + 3/7 = 5/7).
• Soustraire deux fractions de même dénominateur de la même façon (5/9 − 2/9 = 3/9).
• Justifier qu'on n'additionne jamais les dénominateurs, car ils donnent la taille des parts qui ne change pas.

Vérifie que tu as compris

1. Combien font 2/7 + 3/7 ?

   Réponse 5/7

   Même dénominateur : on additionne les numérateurs (2 + 3 = 5) et on garde le dénominateur 7.

2. Combien font 5/9 + 2/9 ?

   Réponse 7/9

   Même dénominateur : on additionne les numérateurs (5 + 2 = 7) et on garde le dénominateur 9.

3. Un potager est semé pour 3/10 en carottes et pour 4/10 en radis. Quelle fraction du potager est semée ?

   Réponse 7/10

   Les deux fractions ont le même dénominateur : on additionne les numérateurs (3 + 4 = 7) et on garde 10. Le dénominateur ne s'additionne pas (7/20) et ne se multiplie pas (7/100).