Le coefficient de proportionnalité

En une phrase

Le coefficient de proportionnalité, c'est le nombre multiplicateur qui fait passer d'une grandeur à l'autre. Pour le trouver, tu divises une valeur d'une ligne par la valeur correspondante de l'autre ligne.

Comprendre

Quand deux grandeurs sont proportionnelles, il existe un nombre magique qui fait passer de l'une à l'autre : c'est le coefficient de proportionnalité. Par exemple, si 3 kg de pommes coûtent 12 €, le prix est proportionnel à la masse, et pour passer de la masse au prix on multiplie par un certain nombre. Ce nombre, le coefficient, se trouve en divisant le prix par la masse correspondante : 12 ÷ 3 = 4. Ici, le coefficient vaut 4 € par kg : chaque kilogramme coûte 4 €.

Une fois que tu connais ce coefficient, tu peux compléter tout le tableau : 5 kg coûteront 5 × 4 = 20 €, 10 kg coûteront 10 × 4 = 40 €. Le coefficient est donc très pratique : il résume la situation en un seul nombre. Pour le calculer, retiens bien le sens de la division : tu divises une valeur de la ligne « résultat » (ici le prix) par la valeur correspondante de l'autre ligne (ici la masse), pour la MÊME colonne.

Si tu divises dans l'autre sens, tu obtiens le coefficient inverse, qui sert à revenir en arrière. L'important est de toujours diviser deux valeurs qui se correspondent (la même colonne du tableau). Le coefficient de proportionnalité est la clé pour passer d'une grandeur à l'autre dans les deux sens.

Le cours

Lorsque deux grandeurs sont proportionnelles, on passe de l'une à l'autre en multipliant toujours par un même nombre : ce nombre est appelé coefficient de proportionnalité. Dans un tableau de proportionnalité, le coefficient permet de passer de la première ligne à la deuxième en multipliant. On le calcule en divisant une valeur de la deuxième ligne par la valeur correspondante de la première ligne (c'est-à-dire les deux nombres d'une même colonne).

Par exemple, si 3 kg de pommes coûtent 12 €, le coefficient de proportionnalité (le prix d'un kilogramme) vaut 12 ÷ 3 = 4 : on dit que le coefficient est 4 € par kg. Ce coefficient étant connu, on peut compléter tout le tableau : pour 5 kg, le prix est 5 × 4 = 20 € ; pour 10 kg, il est 10 × 4 = 40 €. Le coefficient résume donc la relation entre les deux grandeurs en un seul nombre.

Il faut faire attention au sens de la division et de la multiplication : multiplier par le coefficient fait passer de la première grandeur à la seconde ; pour revenir en arrière, on divise par le même coefficient (ou on multiplie par son inverse). Dans tous les cas, on divise deux valeurs qui se correspondent, situées dans la même colonne du tableau. Le coefficient de proportionnalité est un outil essentiel : il permet de vérifier qu'une situation est proportionnelle (le coefficient est le même partout) et de calculer rapidement n'importe quelle valeur manquante.

Les erreurs fréquentes

Pour trouver le coefficient, on additionne ou on soustrait les deux valeurs d'une colonne.

Le coefficient se calcule par une DIVISION : on divise une valeur par la valeur correspondante de l'autre ligne (ex. 12 ÷ 3 = 4), jamais par une addition ou une soustraction.

On peut diviser deux valeurs qui ne se correspondent pas, par exemple le prix de 3 kg par une autre masse.

Il faut diviser deux valeurs d'une MÊME colonne, qui se correspondent (le prix de 3 kg par 3 kg : 12 ÷ 3 = 4), sinon le coefficient trouvé est faux.

Tu maîtrises la notion si…

• Décrire le coefficient de proportionnalité comme le nombre qui fait passer d'une grandeur à l'autre par multiplication.
• Calculer le coefficient en divisant une valeur par la valeur correspondante de l'autre ligne (même colonne).
• Utiliser le coefficient pour compléter un tableau de proportionnalité en multipliant les valeurs connues.

Vérifie que tu as compris

1. Si 3 kg coûtent 12 €, le coefficient (prix par kg) est :

   Réponse 4

   Coefficient = 12 ÷ 3 = 4 € par kg : on multiplie la masse par 4 pour obtenir le prix.

2. Dans un tableau de proportionnalité, 7 correspond à 21. À quoi correspond 4 ?

   Réponse 12

   Coefficient = 21 ÷ 7 = 3, donc 4 correspond à 4 × 3 = 12.

3. 4 L de peinture couvrent 50 m². Quel est le coefficient qui permet de passer du volume à la surface ?

   Réponse 12,5

   On divise une valeur par la valeur correspondante de la même colonne : 50 ÷ 4 = 12,5 m² par litre. On multiplie donc le nombre de litres par 12,5 (l'inverse, 4 ÷ 50 = 0,08, ferait passer de la surface au volume).