La quatrième proportionnelle

En une phrase

La quatrième proportionnelle, c'est la valeur qui manque dans un tableau de proportionnalité. Tu la trouves avec le produit en croix : tu multiplies les deux valeurs en diagonale, puis tu divises par la valeur qui reste.

Comprendre

Souvent, dans un tableau de proportionnalité, tu connais trois valeurs sur quatre et tu dois trouver la dernière : c'est la quatrième proportionnelle. Imagine : 4 stylos coûtent 6 €, combien coûtent 10 stylos ? Tu peux placer ces nombres dans un tableau : ligne du haut les stylos (4 et 10), ligne du bas les prix (6 et le prix cherché).

Pour trouver la valeur manquante, on utilise le produit en croix. La règle est simple : la valeur manquante = (produit des deux valeurs en diagonale) ÷ la valeur opposée. Ici, les deux valeurs qui sont « en croix » avec la case vide sont 10 et 6, et la valeur opposée (dans le même coin que les nombres connus de la case vide) est 4. Donc le prix cherché = (10 × 6) ÷ 4 = 60 ÷ 4 = 15 €.

Dix stylos coûtent 15 €. Le produit en croix marche toujours quand la situation est proportionnelle : tu multiplies les deux nombres situés en diagonale de la case vide, puis tu divises par le troisième nombre connu. C'est une méthode rapide et sûre, surtout quand le coefficient n'est pas un nombre entier facile à manipuler.

Vérifie bien quels nombres sont en diagonale et lequel reste pour la division : c'est tout le secret du produit en croix.

Le cours

Dans un tableau de proportionnalité, on connaît souvent trois valeurs et on cherche la quatrième : cette valeur manquante s'appelle la quatrième proportionnelle. Pour la calculer, on utilise le produit en croix. Considérons un tableau de proportionnalité avec, sur la première ligne, les valeurs a et c, et sur la deuxième ligne, b sous a et la valeur cherchée x sous c.

Comme le tableau est proportionnel, on a l'égalité des produits en croix : a × x = b × c. On en déduit la valeur manquante : x = (b × c) ÷ a. Autrement dit, la valeur manquante est égale au produit des deux valeurs situées en diagonale (la diagonale qui ne contient pas la case vide) divisé par la valeur opposée (la troisième valeur connue).

Par exemple, si 4 stylos coûtent 6 €, le prix de 10 stylos se calcule ainsi : prix = (10 × 6) ÷ 4 = 60 ÷ 4 = 15 €. Donc 10 stylos coûtent 15 €. Le produit en croix est particulièrement utile quand le coefficient de proportionnalité n'est pas un nombre entier simple : il évite de calculer le coefficient et donne directement la valeur cherchée.

Pour réussir, il faut bien repérer les deux nombres en diagonale de la case vide (à multiplier entre eux) et le nombre restant (par lequel on divise). C'est une méthode systématique et fiable pour compléter n'importe quel tableau de proportionnalité dès que l'on connaît trois de ses valeurs.

Les erreurs fréquentes

Dans le produit en croix, on multiplie les deux nombres d'une même colonne, puis on divise par celui qui reste.

On multiplie les deux nombres situés EN DIAGONALE L'UN DE L'AUTRE — la diagonale qui ne contient PAS la case vide —, puis on divise par le troisième. Ex. (10 × 6) ÷ 4 = 15, et non (10 × 4) ÷ 6.

On peut utiliser le produit en croix même quand la situation n'est pas proportionnelle.

Le produit en croix ne donne la bonne réponse que si la situation est proportionnelle (on passe d'une grandeur à l'autre en multipliant par le même nombre). Sinon, le résultat est faux.

Tu maîtrises la notion si…

• Repérer la valeur manquante (quatrième proportionnelle) dans un tableau de proportionnalité où trois valeurs sont connues.
• Calculer cette valeur par un produit en croix : multiplier les deux valeurs en diagonale puis diviser par la valeur opposée.
• Justifier l'usage du produit en croix par le fait que la situation est proportionnelle.

Vérifie que tu as compris

1. 4 stylos coûtent 6 €. Avec un produit en croix, 10 stylos coûtent :

   Réponse 15 €

   Produit en croix : (10 × 6) ÷ 4 = 60 ÷ 4 = 15 €.

2. 5 m de tissu coûtent 20 €. Combien coûtent 3 m du même tissu ?

   Réponse 12 €

   Prix au mètre = 20 ÷ 5 = 4 €, donc 3 m coûtent 3 × 4 = 12 €.

3. Pour 6 personnes, une recette demande 450 g de farine. Quelle masse de farine faut-il pour 4 personnes ?

   Réponse 300 g

   Produit en croix : (450 × 4) ÷ 6 = 1800 ÷ 6 = 300 g. Autrement dit, 450 ÷ 6 = 75 g par personne, puis 4 × 75 = 300 g.