Les nombres relatifs
Comment écrire une température sous zéro ?
En une phrase
Un nombre relatif, c'est un nombre qui a un signe : positif (+) ou négatif (−). Pour le situer, tu regardes son signe et sa distance à zéro. Sur une droite graduée, les nombres négatifs sont à gauche de 0 et les positifs à droite. Par exemple −3 est à gauche, à 3 unités de 0.
L'idée à retenir
Un nombre relatif est positif (+) ou négatif (−). Sur la droite graduée, les négatifs sont à gauche de zéro, les positifs à droite. On repère un relatif par son signe et sa distance à zéro. +3 et −3 sont opposés : symétriques par rapport à 0.
Comprendre
Jusqu'ici tu connaissais les nombres positifs : 0, 1, 2, 3… Mais dans la vraie vie, il existe aussi des situations « en dessous de zéro » : une température de −5 °C, un sous-sol au niveau −2, un compte en banque à −20 euros. Pour décrire tout cela, on utilise les nombres relatifs. Un nombre relatif est fait de deux informations : un signe (+ pour positif, − pour négatif) et une distance à zéro (un nombre positif qui dit « à quelle distance de 0 »).
Par exemple +3 est à 3 unités de zéro du côté positif, et −3 est à 3 unités de zéro du côté négatif. Le meilleur outil pour les voir est la droite graduée : on place le 0 au milieu, les nombres positifs vont vers la droite et les nombres négatifs vers la gauche. Ainsi −3 se trouve à gauche de 0, à 3 unités, et +3 se trouve à droite de 0, à 3 unités.
On dit alors que +3 et −3 sont des nombres opposés : ils ont la même distance à zéro mais des signes contraires, et ils sont symétriques par rapport à 0 (comme un reflet dans un miroir placé sur le zéro). Le 0, lui, est le point de repère de la droite : par convention il est à la fois positif et négatif, puisqu'il n'est ni au-dessus ni en dessous de lui-même. Quand on veut l'exclure, on précise « strictement positif » (plus grand que 0) ou « strictement négatif » (plus petit que 0).
Retenir le signe et la distance à zéro, c'est tout ce qu'il faut pour comprendre et placer n'importe quel nombre relatif.
Le cours
Les nombres relatifs prolongent les nombres que tu connais en ajoutant les nombres négatifs. Un nombre relatif est soit positif (précédé du signe +, comme +3), soit négatif (précédé du signe −, comme −3). Il est caractérisé par deux éléments : son signe (+ ou −) et sa distance à zéro, qui est un nombre positif indiquant l'écart avec 0. Par exemple, +7 et −7 ont tous les deux une distance à zéro égale à 7, mais des signes opposés.
On représente les nombres relatifs sur une droite graduée : on choisit une origine, le point 0, puis on gradue régulièrement. Les nombres positifs sont placés à droite de 0 et les nombres négatifs à gauche de 0. Ainsi, −3 est situé à gauche de 0, à 3 unités, et +3 à droite de 0, à 3 unités. Plus on s'éloigne de 0 vers la droite, plus le nombre positif est grand ; plus on s'éloigne de 0 vers la gauche, plus le nombre négatif est « petit » (par exemple −5 est plus à gauche que −2).
Deux nombres relatifs qui ont la même distance à zéro mais des signes contraires sont appelés des nombres opposés : +3 et −3 sont opposés, et ils sont symétriques par rapport à 0 sur la droite graduée. Le nombre 0 est un cas particulier : par convention il est à la fois positif et négatif, puisqu'il n'est ni au-dessus ni en dessous de lui-même ; il sert de point de repère et il est son propre opposé. Pour désigner les nombres vraiment plus grands que 0, on dit « strictement positifs » ; pour ceux vraiment plus petits, « strictement négatifs ».
Les nombres relatifs servent à décrire de nombreuses situations concrètes : températures sous zéro, étages en sous-sol, altitudes sous le niveau de la mer, soldes négatifs. Bien comprendre le signe et la distance à zéro est la base pour ensuite comparer et calculer avec ces nombres.
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Les erreurs fréquentes
- Sur une droite graduée, −5 est plus grand que −2 parce que 5 est plus grand que 2.
- Plus un nombre négatif est loin de 0 vers la gauche, plus il est petit : −5 est à gauche de −2, donc −5 est plus petit que −2. Il faut tenir compte du signe, pas seulement de la distance à zéro.
- Il faut choisir : ou bien 0 est positif, ou bien il est négatif.
- Le 0 n'a pas à choisir : c'est le point de repère de la droite graduée, et par convention il est à la fois positif et négatif. Pour désigner les nombres vraiment plus grands que 0 (à droite), on dit « strictement positifs » ; pour ceux vraiment plus petits (à gauche), « strictement négatifs ».
Tu maîtrises la notion si…
- Décrire un nombre relatif par son signe (+ ou −) et sa distance à zéro.
- Placer un nombre relatif sur une droite graduée : négatifs à gauche de 0, positifs à droite.
- Identifier deux nombres opposés (+3 et −3), symétriques par rapport à zéro.
Vérifie que tu as compris
Sur une droite graduée, le nombre −3 se trouve :
Réponse à gauche de zéro, à 3 unités
Un nombre négatif est à gauche de zéro ; −3 est à une distance de 3 unités de l'origine.
Quel est l'opposé du nombre −6 ?
Réponse +6
L'opposé d'un nombre a le même éloignement de zéro mais le signe contraire : l'opposé de −6 est +6.
Quels sont les deux nombres relatifs situés à 4 unités de zéro sur la droite graduée ?
Réponse +4 et −4
La distance à zéro ne dit pas de quel côté on se trouve : un nombre est à droite (+4), l'autre à gauche (−4). Ces deux nombres sont opposés, symétriques par rapport à 0.
S'entraîner sur cette notion
La scène s'anime pas à pas, la mascotte t'explique, puis tu t'entraînes. Gratuit pour commencer.
Ouvrir cette scène dans Azulma →Les quatre étapes pour maîtriser cette notion
Les relatifs sont positifs ou négatifs.
Le signe + ou − précède le nombre.
Sur la droite, les négatifs sont à gauche de zéro.
Zéro sépare positifs et négatifs.
−3 à 3 unités à gauche ; +3 à 3 unités à droite.
On compte les unités à partir de zéro, de part et d'autre.
Deux opposés : même distance à zéro, signes contraires.
Le niveau −2 et le niveau +2 sont symétriques par rapport au 0, le rez-de-chaussée.
Dans le même chapitre
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