Additionner des nombres relatifs

En une phrase

Pour additionner deux relatifs, regarde les signes. S'ils ont le même signe, tu additionnes leurs distances à zéro et tu gardes ce signe : (−2) + (−5) = −7. S'ils ont des signes contraires, tu soustrais les distances et tu gardes le signe du nombre le plus éloigné de zéro : (−5) + (+3) = −2.

Comprendre

Additionner des nombres relatifs, c'est facile si tu te poses d'abord une seule question : les deux nombres ont-ils le même signe ou des signes contraires ? Premier cas, MÊMES signes : tu additionnes leurs distances à zéro et tu gardes le signe commun. Par exemple (−2) + (−5) : les deux sont négatifs, j'additionne 2 + 5 = 7 et je garde le signe −, donc le résultat est −7 (imagine que tu perds 2 €, puis encore 5 € : tu as perdu 7 € en tout).

De même (+4) + (+3) = +7. Deuxième cas, signes CONTRAIRES : là, les deux nombres « se combattent », donc tu soustrais la plus petite distance de la plus grande, et tu gardes le signe du nombre le plus éloigné de zéro (celui qui « gagne »). Par exemple (−5) + (+3) : distances 5 et 3, je fais 5 − 3 = 2 ; le plus éloigné de zéro est −5 (signe −), donc le résultat est −2. Autre exemple (+7) + (−4) : 7 − 4 = 3, le plus éloigné est +7 (signe +), donc +3. Une bonne image : sur une droite graduée, ajouter un nombre positif, c'est avancer vers la droite ; ajouter un nombre négatif, c'est reculer vers la gauche. Avec des signes contraires, on fait un peu des deux et on regarde de quel côté on finit.

Retenir ces deux cas (mêmes signes → on additionne ; signes contraires → on soustrait) suffit pour réussir toutes les additions de relatifs.

Le cours

Additionner deux nombres relatifs se fait en deux cas, selon que les nombres ont le même signe ou des signes contraires. Premier cas : les deux nombres ont le MÊME signe. On additionne alors leurs distances à zéro et on garde le signe commun.

Par exemple (−2) + (−5) : les deux sont négatifs, on additionne 2 + 5 = 7 et on garde le signe −, donc (−2) + (−5) = −7. De même (+4) + (+3) = +7. Concrètement, additionner deux nombres de même signe, c'est cumuler dans la même direction (deux pertes se cumulent, deux gains se cumulent). Deuxième cas : les deux nombres ont des signes CONTRAIRES. On soustrait alors la plus petite distance à zéro de la plus grande, et on garde le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro (le plus éloigné de zéro).

Par exemple (−5) + (+3) : les distances sont 5 et 3, on calcule 5 − 3 = 2 ; le nombre le plus éloigné de zéro est −5, dont le signe est −, donc (−5) + (+3) = −2. Autre exemple : (+7) + (−4) : 7 − 4 = 3 ; le plus éloigné de zéro est +7, signe +, donc (+7) + (−4) = +3. On peut visualiser ces additions sur une droite graduée : ajouter un nombre positif revient à se déplacer vers la droite, et ajouter un nombre négatif revient à se déplacer vers la gauche ; le résultat est la position finale. Lorsque les deux nombres sont opposés, leur somme vaut 0 (par exemple (−4) + (+4) = 0), car on revient au point de départ. Maîtriser ces deux règles (mêmes signes : on additionne les distances ; signes contraires : on soustrait les distances et on garde le signe du plus éloigné de zéro) permet de calculer n'importe quelle somme de nombres relatifs.

Les erreurs fréquentes

Pour additionner deux nombres négatifs, on additionne leurs distances mais le résultat devient positif : (−2) + (−5) = +7.

Quand les deux nombres ont le même signe, on garde ce signe : (−2) + (−5) = −7. Deux négatifs additionnés donnent un résultat négatif (on cumule deux « pertes »).

Pour additionner deux relatifs de signes contraires, on additionne quand même les distances : (−5) + (+3) = −8 (ou +8).

Avec des signes contraires, on SOUSTRAIT les distances (5 − 3 = 2) et on garde le signe du plus éloigné de zéro : (−5) + (+3) = −2.

Tu maîtrises la notion si…

• Additionner deux relatifs de même signe en additionnant les distances et en gardant le signe ((−2) + (−5) = −7).
• Additionner deux relatifs de signes contraires en soustrayant les distances et en gardant le signe du plus éloigné de zéro ((−5) + (+3) = −2).
• Justifier le choix entre additionner et soustraire selon que les signes sont identiques ou contraires.

Vérifie que tu as compris

1. Combien font (−5) + (+3) ?

   Réponse −2

   Signes contraires : on soustrait les distances (5 − 3 = 2) et on garde le signe du plus éloigné de zéro (−), soit −2.

2. Combien font (−4) + (−7) ?

   Réponse −11

   Même signe (−) : on additionne les distances (4 + 7 = 11) et on garde le signe commun, soit −11.

3. Le solde d'un compte est −25 €. Un versement de 40 € est effectué. Quel est le nouveau solde ?

   Réponse +15 €

   On calcule (−25) + (+40) : les signes sont contraires, donc on soustrait les distances (40 − 25 = 15) et on garde le signe du plus éloigné de zéro, ici +40. Le solde devient +15 €.