Le volume du cylindre

En une phrase

Un cylindre, c'est comme une boîte de conserve. Pour trouver son volume, tu calcules l'aire de son disque de base, puis tu la multiplies par la hauteur. C'est exactement le même principe que le pavé : aire de la base × hauteur.

Comprendre

Imagine une boîte de conserve ou un verre cylindrique : c'est un cylindre. Pour mesurer la place qu'il occupe, c'est-à-dire son volume, tu utilises une idée toute simple que tu connais déjà avec le pavé droit : tu prends l'aire de la base et tu la multiplies par la hauteur. La seule nouveauté, c'est que la base d'un cylindre n'est pas un rectangle mais un disque.

Or l'aire d'un disque de rayon r se calcule avec la formule π × r × r, que l'on écrit aussi π × r² (« r au carré » : c'est la même chose). Donc le volume du cylindre vaut : aire de base × hauteur = π × r × r × hauteur. Prends un exemple : un cylindre de rayon 2 cm et de hauteur 5 cm.

L'aire de sa base vaut π × 2 × 2 = π × 4. En multipliant par la hauteur 5, on obtient π × 4 × 5 = 20 × π, soit environ 62,8 cm³. L'astuce pour ne pas te tromper, c'est de procéder en deux temps : d'abord l'aire du disque de base, ensuite la multiplication par la hauteur. Ne confonds pas le rayon r et le diamètre : la formule de l'aire du disque utilise le rayon.

Et comme c'est un volume, le résultat s'exprime dans une unité de volume comme le cm³. Retiens surtout l'idée maîtresse : pour un cylindre comme pour un pavé, le volume, c'est l'aire de la base multipliée par la hauteur.

Le cours

Un cylindre (de révolution) est un solide dont les deux bases sont des disques identiques, reliés par une surface arrondie ; une boîte de conserve ou une bougie ronde en sont des exemples. Pour calculer son volume, on applique le même principe que pour le pavé droit : on multiplie l'aire de la base par la hauteur. Pour le pavé, la base est un rectangle ; pour le cylindre, la base est un disque.

L'aire d'un disque de rayon r est donnée par A = π × r × r, écriture que l'on abrège aussi en A = π × r² (les deux notations désignent le même calcul : r multiplié par lui-même). Le volume du cylindre est donc : V = aire de base × hauteur = π × r × r × hauteur. Méthode conseillée en deux étapes : (1) calculer l'aire du disque de base avec π × r × r ; (2) multiplier ce résultat par la hauteur.

Exemple : pour un cylindre de rayon r = 2 cm et de hauteur h = 5 cm, l'aire de la base vaut π × 2 × 2 = 4π cm², puis le volume vaut 4π × 5 = 20π cm³, soit environ 62,8 cm³. Deux points de vigilance : la formule de l'aire du disque utilise le rayon (la moitié du diamètre), pas le diamètre ; et le résultat d'un volume s'exprime dans une unité de volume (cm³, m³). Bien comprendre que « volume = aire de base × hauteur » permet de relier le cylindre au pavé droit : c'est la même idée appliquée à une base différente.

Les erreurs fréquentes

Pour le volume du cylindre, on multiplie le diamètre par la hauteur, ou on utilise le diamètre dans la formule de la base.

La base est un disque dont l'aire se calcule avec le rayon : π × r × r. On utilise donc le rayon (la moitié du diamètre), puis on multiplie cette aire de base par la hauteur.

On confond aire de la base (π × r × r) et volume : on s'arrête au calcul de la base sans multiplier par la hauteur.

L'aire du disque de base n'est qu'une étape : le volume, c'est cette aire de base multipliée par la hauteur, comme pour le pavé droit.

Tu maîtrises la notion si…

• Décrire le volume d'un cylindre comme l'aire de sa base (un disque) multipliée par sa hauteur.
• Calculer ce volume en deux temps : aire du disque de base (π × r × r), puis multiplication par la hauteur.
• Relier la méthode du cylindre à celle du pavé droit : dans les deux cas, volume = aire de base × hauteur.

Vérifie que tu as compris

1. Le volume d'un cylindre de rayon 2 cm et de hauteur 5 cm est :

   Réponse 20 π cm³ (≈ 62,8)

   Volume du cylindre = aire de la base × hauteur = π × r² × h = π × 2² × 5 = 20 π ≈ 62,8 cm³.

2. Pour une boîte de conserve, on mesure 3 cm de rayon et 8 cm de haut. Quel est le volume de cette boîte ?

   Réponse 72 π cm³

   V = π × r² × h = π × 3² × 8 = π × 9 × 8 = 72 π ≈ 226,2 cm³. Utiliser le diamètre 6 cm au lieu du rayon donnerait 288 π, quatre fois trop ; oublier le carré donne 24 π ; 48 π est l'aire latérale (2 × π × 3 × 8).

3. Deux cylindres ont la même hauteur, mais le rayon du second est le double de celui du premier. Le volume du second est :

   Réponse 4 fois plus grand

   Le volume vaut π × r² × h. Doubler le rayon multiplie r² par 2 × 2 = 4 : le volume est donc multiplié par 4, et non par 2. C'est le CARRÉ du rayon qui intervient.