Physique-Chimie · 3ᵉ

Ec = ½ × m × v² : la vitesse compte au carré

Physique-Chimie 3ᵉ L'énergie : conservation et conversions

Deux voitures identiques de 1 000 kg. La première roule à 36 km/h, la seconde à 72 km/h — exactement deux fois plus vite. Son énergie de mouvement est-elle deux fois plus grande ? Presque tout le monde répond oui… et c’est faux. Dessine le carré de la vitesse et compte les carreaux : l’énergie cinétique a été multipliée par QUATRE. Ce petit ² dans la formule change tout — jusqu’à la distance qu’il faut pour s’arrêter.

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L'essentiel

L'énergie cinétique, c'est l'énergie d'un objet qui bouge. On la calcule avec Ec = ½ × m × v² : on prend la masse en kg, la vitesse en m/s, et on trouve l'énergie en joules. Attention : la vitesse est au carré, donc si on roule deux fois plus vite, l'énergie cinétique devient quatre fois plus grande, pas deux fois.

C'est pour cela qu'à grande vitesse, il est beaucoup plus difficile de s'arrêter.

L'idée à retenir

L’énergie cinétique d’un objet en mouvement se calcule par Ec = ½ × m × v², avec la masse m en kilogrammes (kg), la vitesse v en mètres par seconde (m/s) et Ec en joules (J). Si la vitesse est donnée en km/h, on la convertit D’ABORD en m/s en divisant par 3,6 (36 km/h = 10 m/s ; 72 km/h = 20 m/s). Comme la vitesse intervient au CARRÉ, doubler la vitesse multiplie v² par 4 : l’énergie cinétique est multipliée par 4, pas par 2. Une voiture de 1 000 kg possède 50 000 J à 10 m/s, mais 200 000 J à 20 m/s. La masse, elle, compte proportionnellement : deux fois plus lourd, deux fois plus d’énergie.

Comment ça marche, étape par étape

  1. Plan ① — La voiture de 1 000 kg roule à 36 km/h. Avant tout calcul, on convertit : 36 ÷ 3,6 = 10 m/s. Puis on dessine v² : un CARRÉ de côté v, soit 10 × 10 = 100. La formule fait le reste : Ec = ½ × 1 000 × 10² = 50 000 J. Retiens l’image : l’énergie cinétique, c’est une AIRE — le carré de la vitesse, multiplié par la moitié de la masse. Et maintenant… double la vitesse.
  2. Plan ② — Même voiture, 72 km/h, soit 20 m/s. Le CÔTÉ du carré a doublé (10 → 20)… et son AIRE a quadruplé : le grand carré contient exactement 4 carreaux identiques au carré du plan ① (v² = 400). Donc Ec = ½ × 1 000 × 20² = 200 000 J = 4 × 50 000 J. La vitesse a été multipliée par 2, l’énergie cinétique par 4 — jamais par 2. C’est la conséquence directe du carré, et c’est pour cela que la vitesse est si dangereuse sur la route.

Comprendre

L'énergie cinétique est l'énergie que possède un objet à cause de son mouvement. En 3e, on la calcule précisément avec la relation Ec = ½ × m × v². Dans cette formule, m est la masse de l'objet en kilogrammes (kg), v sa vitesse en mètres par seconde (m/s), et le résultat Ec est en joules (J).

Il est essentiel d'utiliser les bonnes unités : si la vitesse est donnée en kilomètres par heure (km/h), il faut d'abord la convertir en m/s en divisant par 3,6 (ainsi 36 km/h = 10 m/s et 72 km/h = 20 m/s). Prenons une voiture de 1 000 kg roulant à 10 m/s : Ec = ½ × 1 000 × 10² = ½ × 1 000 × 100 = 50 000 J, soit 50 kJ. La même voiture à 20 m/s : Ec = ½ × 1 000 × 20² = ½ × 1 000 × 400 = 200 000 J, soit 200 kJ.

La vitesse a doublé (de 10 à 20 m/s), mais l'énergie cinétique a été multipliée par 4 (de 50 000 à 200 000 J), et non par 2. C'est la conséquence directe du carré de la vitesse : v² est multiplié par 4 quand v est multiplié par 2. Ce résultat a une importance capitale pour la sécurité routière : à vitesse double, il y a quatre fois plus d'énergie cinétique à dissiper pour s'arrêter, donc la distance de freinage augmente fortement et un choc est bien plus violent. La masse compte aussi, mais de façon proportionnelle : à même vitesse, un scooter de 200 kg à 10 m/s ne possède que ½ × 200 × 10² = 10 000 J, cinq fois moins qu'une voiture de 1 000 kg à la même vitesse (50 000 J). Retenir la formule, les unités et l'effet du carré de la vitesse est un objectif clé du programme de 3e.

Le cours

L'énergie cinétique mesure l'énergie liée au mouvement d'un objet. On la calcule avec la relation Ec = ½ × m × v², avec la masse m en kilogrammes (kg), la vitesse v en mètres par seconde (m/s) et l'énergie Ec en joules (J). Lorsqu'une vitesse est donnée en km/h, on la convertit d'abord en m/s en divisant par 3,6. Deux facteurs augmentent l'énergie cinétique : la masse et la vitesse, mais pas de la même manière.

La masse intervient de façon proportionnelle : à vitesse égale, doubler la masse double l'énergie cinétique. La vitesse, elle, intervient au carré : doubler la vitesse multiplie l'énergie cinétique par 4. Par exemple, une voiture de 1 000 kg possède Ec = ½ × 1 000 × 10² = 50 000 J à 10 m/s, mais Ec = ½ × 1 000 × 20² = 200 000 J à 20 m/s : la vitesse a doublé, l'énergie a quadruplé. Ce comportement explique un fait de sécurité routière : rouler deux fois plus vite ne rend pas l'arrêt deux fois plus difficile, mais environ quatre fois plus difficile, car il faut dissiper quatre fois plus d'énergie cinétique.

La distance de freinage s'allonge donc fortement avec la vitesse et un choc devient beaucoup plus violent. Savoir appliquer la formule avec les bonnes unités et interpréter l'effet du carré de la vitesse constitue un attendu majeur de la classe de 3e.

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Les erreurs fréquentes

Si la vitesse double, l'énergie cinétique double aussi.
Non : la vitesse intervient au carré dans Ec = ½ m v², donc si la vitesse double, l'énergie cinétique est multipliée par 4. Par exemple une voiture de 1 000 kg passe de 50 000 J à 10 m/s à 200 000 J à 20 m/s.
On peut utiliser la vitesse en km/h directement dans la formule.
Il faut d'abord convertir la vitesse en m/s en divisant par 3,6, sinon le résultat est complètement faux. Par exemple 72 km/h correspond à 20 m/s.

Tu maîtrises la notion si…

  • Appliquer la relation Ec = ½ × m × v² avec la masse en kg, la vitesse en m/s et l'énergie en joules, en convertissant si besoin les km/h en m/s (÷ 3,6).
  • Établir que si la vitesse double, l'énergie cinétique est multipliée par 4 (la vitesse intervient au carré).
  • Relier cette propriété à la sécurité routière : à grande vitesse, la distance de freinage augmente fortement et les chocs sont plus violents.

Vérifie que tu as compris

  1. Une voiture de 1 000 kg roule à 10 m/s. Quelle est son énergie cinétique (Ec = ½ × m × v²) ?

    Réponse 50 000 J

    Ec = ½ × 1 000 × 10² = ½ × 1 000 × 100 = 50 000 J, soit 50 kJ. On pense à utiliser la masse en kg et la vitesse en m/s.

  2. Une voiture roule deux fois plus vite qu'une autre, identique. Son énergie cinétique est…

    Réponse 4 fois plus grande

    Dans Ec = ½ m v², la vitesse intervient au carré : si la vitesse double, l'énergie cinétique est multipliée par 4. C'est pourquoi la distance de freinage augmente fortement avec la vitesse.

  3. Une voiture roule à 72 km/h. Avant de calculer son énergie cinétique avec Ec = ½ × m × v², quelle vitesse faut-il utiliser ?

    Réponse 20 m/s (72 ÷ 3,6)

    Dans Ec = ½ × m × v², la vitesse doit être en mètres par seconde. On convertit les km/h en m/s en divisant par 3,6 : 72 ÷ 3,6 = 20 m/s. Garder 72 dans la formule donnerait un résultat complètement faux.

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Les quatre étapes pour maîtriser cette notion

Reconnaître

Vitesse ×2 → v² ×4 → énergie cinétique ×4.

Regarde le compteur d’énergie : à 10 m/s, v² est un carré de 1 carreau (100) ; à 20 m/s, le côté a doublé et le carré contient 4 carreaux identiques (400). Dans Ec = ½ × m × v², la vitesse intervient au carré : quand v est multipliée par 2, v² est multipliée par 4, donc l’énergie cinétique passe de 50 000 J à 200 000 J. Elle est multipliée par 4 — pas par 2.

Comprendre

m en kg, v en m/s, Ec en joules — km/h ÷ 3,6 d’abord.

La formule Ec = ½ × m × v² exige ses unités : la masse m en kilogrammes (kg), la vitesse v en mètres par seconde (m/s), et l’énergie Ec sort en joules (J). Le chemin direct des km/h vers la formule est BARRÉ : une vitesse en km/h doit d’abord passer par le portail « ÷ 3,6 » (72 km/h = 20 m/s), sinon le résultat est complètement faux. Et souviens-toi du carré : doubler v ne double pas l’énergie, il la quadruple, car v² est multipliée par 4.

Appliquer

v² = 25, puis ½ × 0,4 = 0,2 : Ec = 0,2 × 25 = 5 J.

Monte les trois marches dans l’ordre. ① Le carré de la vitesse d’abord : v² = 5 × 5 = 25 — c’est l’étape qu’on oublie le plus souvent. ② La moitié de la masse : ½ × 0,4 = 0,2. ③ Le produit : Ec = 0,2 × 25 = 5 J. La balle de 0,4 kg lancée à 5 m/s possède 5 joules d’énergie cinétique. Piège classique : calculer ½ × 0,4 × 5 = 1 J en oubliant le carré, ou 0,4 × 25 = 10 J en oubliant le ½.

Transférer

4 fois plus d’énergie à dissiper : le freinage s’envole.

Les deux voitures freinent au même point. Celle qui va deux fois plus vite possède quatre fois plus d’énergie cinétique (regarde les carrés : 50 000 J contre 200 000 J). Pour s’arrêter, il faut dissiper TOUTE cette énergie par le freinage : elle ne disparaît pas, elle est dégradée en chaleur dans les freins et les pneus. Quatre fois plus d’énergie à dissiper, c’est une distance de freinage environ quatre fois plus longue — bien plus que le double. Voilà pourquoi la vitesse aggrave autant les accidents.

Au brevet, cette notion tombe dans ces sujets

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